10강 - 벡터의 직교성과 직선투영
10.1 - 직교성
직교 관계를 만족하는 벡터/부공간들에 대해 알아보자.
수직인 벡터들은 선형 독립 관계이다.
수직인 벡터들은 선형 결합 등의 연산이 쉽다. (기저로 사용한다)
수직인 벡터는 내적했을 때 결과가 0이 된다.
10.2 - 벡터의 길이
벡터의 길이는 아래와 같이 정의된다.
10.3 - 벡터의 내적 결과에 따른 해석
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이루는 각이 90도 |
이루는 각이 90도보다 큼 |
이루는 각이 90도보다 작음 |
10.4 - 정규직교벡터
정규직교벡터는 길이가 1이고, 서로 직교관계를 만족하는 벡터를 말한다.
정규직교벡터를 기저로 사용할 시, 특정 벡터를 선형 결합으로 나타내기 매우 쉬워진다.
벡터 C가 존재한다고 하고, 정규직교벡터 v1,v2,v3가 존재하며, C를 v들의 선형결합으로 나타내 보자.
로 나타내어지고, 계수 a1~a3를 구해야 한다.
계수를 구하기 위해 C와 v1~v3를 각각 내적하면
즉, 원래 벡터 C의 선형결합 계수(좌표)는 각 정규직교벡터와의 내적(결과적으로는 수선의 발)이 되게 된다.
10.5 - 직교 부공간 (Orthogonal Subspace)
어떤 두 subspace가 존재한다고 할 때, 두 subspace에서 벡터 하나씩을 뽑으면 무조건 수직이 되는 관계.
Ex. 2차원 공간 내에서 서로 수직인 두 직선, 평면과 그의 법선벡터는 서로 직교하는 subspace이다.
참고로, Subspace는 무조건 원점을 포함한다.
10.6 - 4가지 부공간의 직교성
행공간과 영공간의 직교성에 대하여 알아보자.
영공간의 정의에 따라 벡터 x에 대해 위와 같은 등식이 성립한다.
r1~r3는 행렬의 행이다. r1~r3로 span되는 행공간은 x와 내적했을 때 0이 되므로 행공간과 영공간은 직교한다.
좌영공간의 정의에 따라 벡터 y에 대해 위와 같은 등식이 성립한다.
c1~c3는 행렬의 열이다. c1~c3로 span되는 열공간은 y와 내적했을 때 0이 되므로 열공간과 좌영공간은 직교한다.
10.7 - 코사인과 직선 위로의 사영
벡터 b를 벡터 a (또는 a방향의 직선)위로 사영한 결과는 아래와 같다.
