6강 - 영벡터공간과 해집합

6강 - 영벡터공간과 해집합




6.1 영벡터공간

• Ax = 0 을 만족시키는 x들의 집합을 영벡터공간이라 한다
• Ax₁ = 0 / Ax₂ = 0 일때, A(x₁+x₂) = 0
  
• Ax = 0 , 상수 C에 대하여 A(cx) = 0 이다
• 따라서 덧셈과 상수배에 대하여 닫혀있으므로 영벡터공간도 공간이다




6.2 열공간, Column Space of A

• 행렬A의 열벡터들의 선형결합으로 이루어진 공간
• Ax = b 의 해 x가 존재한다면, 벡터 b는 A의 열공간 내에 존재한다
• 해가 존재한다는 의미는 A행렬의 역행렬이 존재한다는 의미이며, A의 열벡터들이 선형 독립이라는 의미이다.
• 그런 경우 b벡터가 어떤것이든지 x = A^-1b로 표현 가능하며, 이 말은 A의 열공간이 b벡터의 차원을 모두 표현 가능한 공간이라는 의미이다.




6.3 Solving Ax = 0 & Ax = b

• A가 정사각행렬 꼴이 아닌, m < n인 경우. 즉, 방정식의 개수보다 변수의 개수가 많을 때
• A가 예를 들어 3x4 꼴의 행렬이라고 할 때, 정사각행렬이 아니므로 열공간과 영공간의 차원은 달라지게 된다.
• 행렬 A의 열벡터는 3차원 벡터이므로 열공간은 R³ 의 부분집합 (차원이 더 적을수도 있음)
• 벡터 x는 4차원 벡터이므로 Ax = 0를 만족시키는 x들의 집합(영공간)은 R⁴의 부분집합 (차원이 더 적을수도 있음)
• Ax = 0 → Ux = 0 → Rx = 0 꼴로 변환하여 푼다

 
Ax = 0 의 기본 꼴






가우스 소거법을 이용하여 행 사다리꼴 형태 (Row echelon form) 로 만들어준다

피봇이 1이 되도록 만들어 준다. 이 상태가 Ux = 0 꼴이다

아래에서 위로 빼주며 피봇이 해당 열의 유일한 1이 되도록 만들어 준다. 이 상태가 Rx = 0 꼴이다

이 때 R을 Row reduced echelon form 이라고 한다 (기약 행 사다리꼴)

R 행렬의 피봇 위치에 해당하는 변수를 pivot variable이라고 하며,

그 외의 변수를 free variable이라고 한다.

pivot variable : u,w

free variable : v,z

pivot variable을 free variable 에 대하여 정리하면 된다.

다음과 같이 정리할 수 있다.

여기서 v와 z뒤의 두 벡터를 special solution이라고 한다.

(영공간의 기저라고 볼 수 있음)