7강 - 벡터의 선형독립과 기저벡터
7.1 Finding the solution of Ax = b (≠0)
위의 경우, 상수항이 0이 아니다.
예전 방식과 같이 행 사다리꼴로 만들어 준 뒤,
기약 행 사다리꼴 형식으로 바꿔준다.
처음으로 1이 등장하는 위치를 pivot이라 하며, 그 위치에 해당하는 변수를
pivot variable, 그 외의 변수를 free variable이라 한다.
pivot variable을 free variable로 나타내 준다.
벡터 형식으로 표현하면 위와 같다. 이때, 상수항이 붙어 있는 벡터를 special solution이라 하며, 상수항이 없는 벡터를 particular solution이라 한다. 그리고 special solution는 행렬A의 영공간의 기저벡터이다.
즉, X= Xn + Xp 꼴로 나타내어지며, 이는 특정 도형(이 경우에는 평면)을 평행이동한 꼴이 된다. (Xn은 special solution들의 선형결합, Xp는 상수 벡터)
영공간의 기저벡터들의 선형결합이 Xn 이므로 AXn 은 0이다.
- 7.2 Linear Independence
n개의 벡터들의 선형 결합을 통해 영벡터를 만든다고 할 때,
그들의 계수가 전부 다 0이어야만 하는 경우 n개의 벡터들은 서로 선형 독립이라고 한다.
가우스 소거법을 통해 행렬 A를 상삼각행렬 꼴로 나타내었을 때,
영벡터가 아닌 행벡터의 개수가 m개라 하자. (pivot의 개수가 m개)
그렇다면 A의 서로 선형 독립인 열벡터는 총 m개 이다.
Rank of A
= # of independent column vectors
= # of independent row vectors
= # of pivots in G.E (가우스 소거법을 적용한 행렬)
= Dim of Col(A)
- 7.3 Basis, Dimension