9강 - 선형변환과 행렬

9강 - 선형변환과 행렬

9.1 - Ax = b 의 해석

Ax = b 에서, A의 열벡터를 x벡터의 계수를 이용하여 선형결합하고, 그 결과 b를 만들어낸다.

x벡터를 A라는 시스템에 input으로 주고, b라는 output이 되어 나온다.

n차원 벡터 x를 A라는 행렬을 이용하여 m차원 벡터 b를 만들어낸다.

이 때, A를 선형성을 띠는 변환(선형 변환)으로 해석 가능하다.

A(a*x1+b*x2) = aAx1 + bAx2 로, 선형성을 만족한다.

9.2 - 선형변환 A의 예  

확대/축소	90도 회전	y=x에 대해 반전

위의 행렬 모두 선형성을 만족시킨다.

미분, 적분 모두 선형변환에 해당되므로 행렬로 표현 가능하다.

9.3 - 선형변환 A를 구하는 방법

행렬 A가 직접적으로 주어지지 않았더라도, A에 의한 벡터의 변환 결과 몇 개를 알면 A를 알 수 있다.

A가 선형변환이라고 가정했으므로 A(a*x1+b*x2) = a*Ax1+b*Ax2 와 같이 선형성이 성립한다.

위와 같이 선형성을 이용하여 단위행렬을 만들어 주면 A를 구할 수 있다.

미분에 해당하는 행렬을 A라 놓고, 구해보자.

다음과 같이 다항식의 계수만 모아 벡터로 표현 가능하다.

미분 결과를 생각해보면 상수항은 0이 되고, 1차항은 상수항이 되는 식이므로 위와 같다.

따라서 3차다항식의 미분에 해당하는 행렬 A는 아래와 같다

마찬가지로 3차다항식의 적분에 해당하는 행렬 A는 아래와 같다