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5강 - 벡터공간과 열벡터공간
5.1 Vector Space
- ‘공간’이란 덧셈과 상수배 연산에 대하여 닫혀있는 집합
- 벡터공간 V내에 존재하는 임의의 n차원 벡터 x,y와 임의의 상수 c에 대하여 x+y , cx , c1x+c2y 등은 모두 V의 원소이다
- f(x) = ax2+bx+c 등의 꼴도 3차원 벡터 [a,b,c] 로 나타낼 수 있으므로 벡터공간으로 표현 가능하다
- f(x) = aex 등의 꼴도 테일러 급수로 표현하면 x에 대한 다항식으로 근사 가능하므로, 벡터공간으로 근사 가능하다. 단, 무한차원의 벡터이므로 이에 한하여 힐버트 공간이라 한다
5.2 벡터 연산의 특징
- x+y = y+x
- x+(y+z) = (x+y)+z
- 영벡터는 벡터의 덧셈에 대한 항등원이다
- 모든 벡터공간은 원점(영벡터)을 필수 원소로 가진다
- 벡터 x의 덧셈에 대한 역원은 -x로, 유일하다
- 1*x = x
- c(x+y) = cx+cy
- (c1+c2)x = c1x+c2x
5.3 Subspace
- 전체 벡터공간의 부분집합을 의미함 (부분공간)
- 부분공간 또한 벡터공간이므로 덧셈과 상수배에 대하여 닫혀있어야 함
- ex) 하삼각행렬의 집합은 벡터공간의 부공간이라고 할 수 있다
- Subspace 또한 벡터공간의 일종이므로 영행렬 또는 영벡터를 무조건 포함하여야 한다 (원점을 지나는 평면,직선 등등)
5.4 Column Space of A - C(A)
행렬 A의 열벡터들의 선형결합으로 이루어지는 공간
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