4강 - 역행렬과 전치행렬

4강 - 역행렬과 전치행렬

4.1 역행렬

• 역행렬은 AA^-1 = A^-1A = I 의 성질을 갖는다
• n*n 행렬의 역행렬은 가우스 소거법을 통해 n개의 pivot이 생겼을 때 존재한다
• n*n 행렬의 역행렬은 det-(행렬의 판별식) 값이 0이 아닌 경우에만 존재한다
• 역행렬은 행렬 A에 대하여 단 한 개만 존재한다
• A의 역행렬이 존재한다면, Ax = b에서 x = A^-1b 이며, 해는 단 하나이다
• A의 역행렬이 존재한다면, 입력 벡터와 출력 벡터간에 일대일 대응관계가 성립한다
• Ax = 0 일때, x=0을 trivial solution이라 한다
• Ax = 0 일때, trivial solution 외에 다른 해가 존재하려면 A의 역행렬이 존재하면 안 된다
• 대각행렬의 역행렬은 대각성분만 역수를 취해주면 된다
• ABC의 역행렬은 C^-1B^-1A^-1 이다
  
  

4.2 가우스-요르단 방법

• 
  다음의 꼴에서 A의 역행렬을 구하고자 한다. A = LU 이므로 I 왼쪽에 U^-1L^-1 을 곱하면 A의 역행렬을 구할 수 있다.

• 연립방정식의 행렬 표기법으로 A의 역행렬을 구해 보자

  
  최초 상태로, A행렬의 성분이 좌측, I행렬의 성분이 우측에 있다
  AA^-1 = I 를 표현한 것 (A^-1의 성분을 미지수로 놓음)
  
  
  가우스 소거법을 이용하여 A를 U로 만들어 주었다 (즉, A좌측에 L^-1을 곱했다)
  
  
  역방향으로 가우스 소거법을 적용하여 대각 성분만 남긴다

  
  
  우측에 남은 값이 A의 역행렬이다

4.3 전치행렬

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• 인 경우 A를 Symmetric Matrix라 한다.
  A가 대칭행렬이면, A^-1도 대칭행렬이다
  
  

4.4 Correlation Matrix, 상관행렬

• R = A^TA 를 상관행렬이라 한다
• 이 행렬 R의 특징은 대칭행렬이다
• 각 성분은 A의 열벡터 또는 A^T의 열벡터끼리의 내적이다
• 이 내적은 벡터 위로의 projection을 의미하며, 해당 방향의 상관성이자, 성분이다
• correlation이 없다면 R의 모든 성분은 0이 될 것이다