3강 - LU 분할 — Dong's Archive

3.1 행렬 표현식에서의 가우스 소거법

$\begin{bmatrix} 1 &0 &0 \\ {\color{Red}-2} & {\color{Blue}1} &{\color{Green}0} \\ 0 & 0 &1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} {\color{Red}2} &{\color{Red}1} &{\color{Red}1} \\ {\color{Blue}4} & {\color{Blue}-6} & {\color{Blue}0}\\ {\color{Green}-2} & {\color{Green}7 }& {\color{Green}2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 &1& 1\\ 0 & -8 &2 \\ -2 &7 & 2 \end{bmatrix} {\color{Red} }$
가우스 소거법을 하기 위해 빨간색 행의 2배를 2번째 행에 빼 준다.
위 행렬곱에서 등호 좌측을 보면, 왼쪽 벡터의 행은 우측 행렬의 행벡터의 선형결합 계수(-2,1,0)를 나타낸다
(빨강 행벡터의 계수는 -2, 파랑 행벡터의 계수는 1, 그 결과값은 결과 행렬의 2행이 된다)
위 행렬 곱 표현 자체가 가우스 소거법을 하는 과정이며, 결과적으로 2행의 첫 값이 0이 되었다.
이 때, 맨 좌측의 계수 행렬을 Elementary Matrix라 한다.

3.2 Elementary Matrix

가우스 소거법을 반복하여 Elementary Matrix를 A의 좌측에 곱해주면 결국 U(상삼각행렬)이 남게 된다
$E_3_2E_3_1E_2_1A=U$
이 때, Elementary Matrix의 역행렬은 1이 아닌 계수의 부호만 바꾼 것이므로 각 역행렬을 모두 좌측에 곱해 준다. 각 역행렬 곱의 결과는 하삼각행렬이며, L로 나타낸다
$A = E^{-1}_2_1E^{-1}_3_1E^{-1}_3_2U = LU$

3.3 Triangular Factors

$A = \begin{bmatrix} 1 &2 \\ 3 & 8 \end{bmatrix} \, \, ,\: \: U = \begin{bmatrix} 1 & 2\\ 0 & 2 \end{bmatrix}\: \: ,\: \: L=\begin{bmatrix} 1 &0 \\ 3 & 1 \end{bmatrix}$

U 는 가우스 소거법의 결과로 나타난 상삼각행렬
L은 가우스 소거법의 1이 아닌 계수에 -1을 곱한 성분들
L또는 U의 대각성분이 모두 1로 고정되어 있는 경우 LU분해는 유일하다

3.4 Row Exchange (Pivoting)

Permutaion, P
$\begin{bmatrix} 0 &1 &0 \\ 1& 0 &0 \\ 0&0 &1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 1 &1 \\ 4 & -6 & 0\\ -2 & 7 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & -6 & 0\\ 2 & 1 & 1\\ -2 & 7 & 2 \end{bmatrix}$
위의 P₂₁ 을 통해 행벡터의 교환이 가능하다
Permutation Matrix의 곱은 교환법칙이 성립하지 않는다
Permutation Matrix의 역행렬은 해당 행렬의 전치행렬이다

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