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8강 - 벡터공간의 차원과 4가지 부벡터공간
8.1 - 선형 독립과 기저, 랭크
- 어떠한 벡터공간을 span할 수 있는 벡터 집합은 유일하지 않다.
- 어떠한 벡터공간을 span할 수 있는 서로 선형 독립인 벡터 집합은 유일하지 않다.
- 어떠한 벡터공간을 span할 수 있는 서로 선형 독립인 벡터 집합의 원소의 개수는 유일하다.
- 그 원소의 개수를 차원이라고 하며, 그 벡터들을 기저라고 한다.
- 서로 선형 독립인 벡터들을 이용하여 벡터공간 내의 한 점을 표현하는 방식은 유일하다.
- 가장 이상적인 기저벡터는, 서로 수직인 관계를 만족하면 된다.
- 어떠한 행렬 A의 Rank는 선형 독립인 열벡터의 개수이다 (= 열공간의 차원)
- 어떠한 행렬 A의 Rank는 선형 독립인 행벡터의 개수이다 (= 행공간의 차원)
- 어떠한 행렬 A의 Rank는 가우스 소거법의 결과에서 Pivot의 개수이다.
8.2 - 4가지 부벡터공간 (A가 m*n 행렬일 때)
- 열공간 : Col(A) - 열벡터의 선형 결합으로 span되는 공간,
- 영공간 : N(A) - Ax = 0 를 만족시키는 x들의 집합,
- 행공간 : Row(A) - 행벡터들의 선형 결합으로 span되는 공간,
- 좌영공간 :
- 열공간과 영공간은 서로 수직이다
- 행공간과 좌영공간은 서로 수직이다
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