잘 설명해주는 영상
part1
part2
영상에서 너무 잘 설명해줘서 간단하게만 요약해본다.
Quadratic Spline Interpolation의 정의와 성질
여러 데이터 포인트들이 있을 때, 그들을 직선으로 연결하면(linear spline)
너무 단순한 interpolation 방법이 되어버리므로,
해당 점들을 부드럽게, 곡선으로 연결하자는 것이 포인트.
부드럽게 란, 하나의 점을 기준으로 양 옆의 spline의 기울기가 같아야 한다 (스무스하게 연결되면서 넘어감)
곡선으로 란, 두개의 점을 잇는 spline이 2차함수 꼴로 정의될 것. (그래서 quadratic spline라고 부름)
그렇다면 두 점을 잇는 곡선 함수의 꼴은
ax^2 + bx + c = y가 될텐데, 데이터포인트들이 N+1개 있다고 가정하면 spline은 총 N개가 나오게 되고
각 함수마다 a,b,c 의 계수가 미지수이므로 총 3N개의 미지수가 생기게 된다.
따라서 3N개의 미지수를 풀기 위해 3N개의 방정식이 필요하다.
Quadratic Spline 의 계수 구하기
목표 : 주어진 점들과 Quadratic Spline Interpolation의 특징을 이용해서 방정식 3N개 수집!
1. 우선 두개의 점 사이를 잇는 spline은 왼쪽 점과 오른쪽 점을 지나므로 두 점의 좌표를 대입할 수 있다.
그럼 spline 1개마다 방정식 2개가 나오므로 2N개의 방정식을 모았다.
2. 하나의 데이터포인트를 기준으로 양 옆의 spline은 해당 데이터의 좌표에서 기울기가(미분값) 같다.
N+1개의 데이터포인트에서 맨 끝 두개의 점은 해당 성질을 이용할 수 없으므로 제외하면 N-1개의 방정식 수집!
그럼 이제 3N-1개의 방정식을 모았다... 하나는 어디서 구한담?
-> 그냥 N개의 spline 중 하나만 linear spline이라고 가정한다. (a=0)
ㅋㅋ 생각지도 못한 방법...
영상에서는 맨 좌측의 spline을 linear라고 가정한다고 했지만,
충분히 가까운 두 점에 대해서 linear spline이 성립한다고 가정하면 된다고 한다.
그럼 3N개의 방정식이 모였으므로 쭉쭉쭉 풀리면서 2차함수의 계수가 나오게 된다고 한다.
(푸는 방법은 영상에 안나왔으니 찾아보면 될듯하다)